图形学——网格简化

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上一篇博客讲了网格的相关内容，也提到了一些网格简化的算法。但是实际上网格简化是网格中很大的一个块，因此这次单独拿出一篇文章来介绍简化的相关内容。

话说到前面，网格简化有很多方法，这里介绍的多种方法，我也不是都明白，以后有机会的话会对其进行各个算法复现。对于一些复杂的算法，可能需要查阅相关论文才能明白其中的数学道理，在本文也会给出一些复杂的简化算法的论文链接。

网格简化更宽泛，具体的细节一般为层次细节简化（LOD：Level of Details）。它主要用于简化采样密集的多面体网格，以及三维场景的存储，传输和绘制。它主要目标是在不影响画面视觉效果的条件下，通过逐次简化景物的表面细节来减少场景的几何复杂度，从而提高绘制算法的效率。

在层次细节简化时候，我们会对一个原始的多面体模型建立几个不同逼近程度的几何模型。从近处观察物体，采用精细模型，从远处观察物体，采用较为粗糙的模型，当视点连续变化时，在两个不同层次的模型间会有明显的跳跃，为了追求完美应该要一个平滑的过渡，因此还需要几何形状过渡。

因此层次细节简化技术的研究主要集中在：

  1. 建立不同层次细节的模型。对任意给定的复杂多边形网格$M$，由精细到粗糙建立一系列模型序列：$M_0,M_1,…,M_n, M_0 = M$。
  2. 建立相邻层次的多边形网格$M_i,M_{i+1}$的几何形状过渡：$\Phi: M_i \rightarrow M_{i+1}$。

层次细节简化第一步说到底就是不同程度的网格简化。下面介绍几个简化的基本操作，和上篇文章相似。

  • 顶点删除操作L删除网格中的一个顶点，对它的相邻三角形形成的空洞做三角剖分

  • 边压缩操作：网格上一条边压缩为一个顶点，与该边相邻的两个三角形退化为边

  • 面片收缩操作：网格上的一个面片收缩为一个顶点，该三角形本身退化为点，其相邻的三个三角形都退化为边

下面会介绍几个具体的算法，他们策略不同，但是最后都是上面3种操作的组合。

基于长方体滤波的多面体简化

基于长方体滤波的多面体简化是最简单的一种简化方法，它的思想是，将多个聚集在一起的顶点聚合为一个顶点，这个操作实际上是采样的一种。具体步骤如下：

  • 给定一个多面体$M$，记$K$为其拓扑，假设$M$已三角化。算法首先建立$M$的长方体包围盒，并将该包围盒所包围的空间均匀剖分成一系列的小长方体子空间，然后将各个子空间中的顶点聚合为一个代表顶点，如果子空间中无顶点则不考虑。一般来说聚合的这个顶点位于子空间的中心，子空间也是被均匀分割的。这些代表顶点为原多面体所示景物的重新采样。基于原多面体的拓扑结构和这些采样点可以重新产生多面体，所得多面体即为保持一定层次细节的模型。剖分的子空间越小，得到的层次模型就越逼近原多面体。

在二维空间中，长方体滤波的示意如下：

长方体滤波的主要缺点是会导致一些重要的高频细节的丢失。

下面两个算法是利用顶点删除技术的代表。顶点删除技术比较难的部分在于，删除哪些顶点？随机采样不能得到很好的效果。在网格中，近似平面的顶点可以删除，而对于尖锐部分的顶点删除后会使得模型大大折扣。因此下面介绍两个局部判别准则，用来决定删除哪些顶点比较合适。

基于相邻面片和边界的局部平坦性原则

由Schroeder提出。该判别分两种情况：

  • 对于网格内部顶点$V$，记其周围相邻面片集为$S$，则该点的平坦性标准由下述的距离来描述： d = \vert\mathbf N \cdot(v - C) \vert其中$N$为向量$\frac{\sum_{f\in S}\mathbf n (f)A(f)}{\sum_{f\in S} A(f)}$的单位向量，$C = \frac{\sum_{f\in S}c(f)A(f)}{A(f)}$,这里$A(f),c(f),\mathbf{n}(f)$分别为三角面片的面积，中心和法向量。
    这种度量方式某种程度上反映了该顶点的突出程度。
  • 对于边界顶点$v$，记与它相邻的两个边界顶点为$v_1,v_2$，则其平坦性标准定义为$v$到$v_1v_2$连线的距离。

采用等距面来限定简化模型顶点的变化范围

由Cohen提出，这个算法相对于上述会更复杂一点。

首先介绍一个概念，叫包络（envelope）。多边形网格表面$P$可以看作一张分片线性参数曲面：

r(u,v) = (r_x(u,v),r_y(u,v),r_z(u,v))

其单位法向量为：

\mathbf n(u,v) = (n_x(u,v), n_y(u,v),n_z(u,v)).

对于给定的$\epsilon > 0$，$P$的三维$\epsilon$等距面定义为：

r^{\epsilon}(u,v) = r(u,v) + \epsilon \mathbf{n}(u,v)

近似定义原始多边形网格$P$沿正负发现的$\epsilon$等距面$P(+\epsilon),P(- \epsilon)$。$\epsilon$等距面$P(+\epsilon)$和$P(-\epsilon)$上对应顶点$v_i^+,v_i^-$及其法向量可表示为：

v_i^+ = v_i + \epsilon\mathbf{n}_i, v_i^- = v_i - \epsilon \mathbf{n}_i, \mathbf{n}_i^+ = \mathbf{n}_i^- = \mathbf{n}

上述方法产生的$P_{\pm \epsilon}$可能出现自交的现象。

我们用解析法计算$\epsilon$。现在来考察$P$上任意三角形$\triangle v_1v_2v_3$：

对$P$上每个与三角形$\triangle v_1v_2v_3$不相邻的三角面片$\triangle_j$，判断$\triangle_j$是否与$\triangle v_1v_2v_3$的基本柱体相交。可计算得到$q_j$到$\triangle v_1v_2v_3$的距离$\sigma_j$。

这两个等距面构成了表面的包络。Cohen顶点删除的过程如下：

  • 利用贪婪搜索策略，将原表面$P$的所有顶点列入带处理的顶点队列。
  • 对当前待处理顶点队列中的一顶点，算法尝试从$P$上删除该顶点及该顶点直接相邻的三角面片，并试图用某种类型的三角剖分法来填补顶点删除后在表面$P$上形成的空洞。
  • 若空洞位于$P$的包络内且能成功地被填补，则从当前队列中删除该顶点，简化表面$P$模型并重构原来与该顶点相连接的各顶点的拓扑关系，否则，该顶点从当前的待处理队列中退出，表面$P$保持不变。上述过程知道待处理顶点队列变空为止。

这个算法的相关论文为：envelopes。

Hoppe-渐进的网格简化技术

由Hoppe提出。这个算法比较难以理解，定义了很多新的东西去讲解这个算法。在渐进网格算法中，任一网格$\hat M$可表示为一粗网格以及$n$个逐步细化网格$M^i(i=1,…,n)$的变换，且有$\hat M = M^n$。一张网格可以定义为一个二元组：$(K,V)$。其中$K$是一个单纯复形（simplicical complex），它表示了$M$的顶点，边和面的邻接关系。

$V = {v_i \in R^3\vert i=1,…,m}$是$M$的顶点位置向量集，它定义了网格$M$在$R^3$中的形状。而单纯复形$K$由顶点集以及称之为单形的非空子集组成：

0-单形$\{i\} \in K$，即为顶点，1-单形$\{i,j\} \in K$是一条边，2-单形$\{i,j,k\}\in K$为一个面。需要注意的是单纯复形$K$并不包含$V$的所有成员，只包含了构造网格$M$所需要的所有面，边和顶点的子集。为了在结构上刻画单纯复形，我们引进拓扑实现(topological realization)$\vert K\vert$的概念。

若将顶点$\{i\}(i=1,2,…,m)$看成为$R^m$中的基向量$e_{i} = \{0,…,0,i,0,…,0\}$，则定义在$R^m$中的集合$\vert K \vert$为$K$的拓扑实现：

\vert K \vert = \bigcup_{s \ in K}\vert s\vert

其中$s$为$K$的一个单形，$\vert s \vert$为s在$R^m$空间中的顶点的凸包。

我们记$\phi_v = \phi_{\vert K\vert}$，称为$\triangle v_1v_2v_3$在$R^3$中的几何实现（geometric realization）。若$\phi_v(\vert K\vert)$不自交，则$\phi_v$为1-1映射。此时，$\phi_v$为一嵌入映射，即对$\forall p \in \phi_v(\vert K \vert)$，存在唯一$m$维向量$b \in \vert K\vert$，使得$p = \phi_v(b)$。我们称$b$为$p$关于单纯复形的重心坐标向量。实际上，$b$可表示为：

b = \sum_{i=1}^mb_ie_i

容易知道，当$M$为一三角网格时，$\phi_v(\vert K\vert)$上任一点的重心坐标向量$b$中至多只有三个分量非零。

有了上述定义，Hoppe采用显示能量函数$E(M)$来度量简化网格与原始网格的逼近度：

E(M) = E_{dist}(M) + E_{spring} (M) + E_{scalar}(M) + E_{disc}(M).

上式中，$E(M)$为$M$的距离度量，定义为点集$X = \{x_1,…,x_n\}$到网格$M$的距离平方：

E_{dist}(M) = \sum_{i=1}^n d^2(x_i,\phi_v(\vert K \vert))

$E_{spring}$为$M$的弹性能量，这相当于在$M$的每条边上均匀放置一条弹性系数为$k$的弹簧，即：

E_{spring} (M) = \sum_{(i,j) \in K}k\Vert v_i,v_j \Vert^2

$E_{scalar}(M)$度量M的标量属性的精度，而$E_{disc}(M)$则度量了$M$上视觉不连续的特征线（如边界线，侧影轮廓线等）的几何精度。

Hoppe利用边收缩变换来逐步迭代计算上述能量的优化过程。下面是一个边收缩变换的例子：

因此，初始网格$\hat M = M^n$可经过$n$组的边收缩变形后简化为$M^0$：

\hat M = M^n\rightarrow … \rightarrow M^0

边收缩变换的逆变换被称为顶点分裂变换，也就是将顶点分裂成一条边。

这个简化技术的过程我不是很清楚，而老师上课的时候说的也不清楚，很多符号之前并没有定义。我去查找了这篇文章，把链接放在这里，如果想要详细了解请戳：Progress Meshes

基于二次误差度量的简化技术

Hoppe的边收缩操作可推广为一般的顶点合并变换来描述$(v_1,v_2)\rightarrow v$。而Garland和Heckbert引进了二次误差度量来刻画每一个顶点移动后引起的误差，对表面上的每一个顶点$v_a$均有许多三角面片与之相邻，记$plane(v_a)$为这些三角形所在平面所构成的集合，即：

plane(v_a) = \left\{(a,b,c,d)\vert ax+by+cz+d = 0,(a^2 +b^2 +c^2 =1) \text{is the coefficients of the adjacent plane of v_a} \right\}

我们采用如下的二次函数来度量$v_a$移动$v$时产生的误差:

\Delta(v_a \rightarrow v) = \sum_{p \in plane(v_a)}(pv^T)^2

其中$v = (x,y,z,1)$为齐次坐标，展开上式可以得到：

\begin{aligned} \Delta(v_a \rightarrow v) &= \sum_{p \in plane(v_a)}(pv^T)^2\\ v \left(\sum_{p \in plane(v_a) K_p}\right)v^T = vQ(v_a)v^T \end{aligned}

式中：

K_p = p^Tp \begin{bmatrix} a^2 & ab &ac & ad\\ ab & b^2 &bc & bd\\ ac & bc & c^2 & cd\\ ad& bd & cd & d^2 \end{bmatrix},\\ Q(v_a) = \sum_{p \in plane(v_a)} K_p

这样，每一顶点$v_a$，在预处理时，可以用上述方法计算矩阵$Q(v_a)$，从而计算移动误差。而合并顶点每次需要移动两个顶点，因此需要考虑同时移动后形成的误差。而Garland和Heckbert简单地采用加法来刻画多点移动形成的误差，对于$(v_1,v_2) \rightarrow v$，其误差为：

\Delta (v) = \Delta (v_1 \rightarrow v) + \Delta (v_2 \rightarrow v) = v(Q(v_1) + Q(v_2))v^T = vQv^T。

因此应该选取$v$使得误差达到最小。一般想法是采取优化方法如梯度下降等等，但是在这个式子里，一般$v$的值是有解析解的，正如线性回归一样，我们可以得到唯一解，或者伪逆技术(pseudo-inverse)求出解。如果伪逆技术失败，简单选取$v$为$v_1,v_2$或者$\frac{v_1 + v_2}{2}$。

二次误差度量简化算法的论文是：Surface Simplification Using Quadric Error Metrics。