图形学——Transformation

Posted on Edited on In

上次博客最后一个主题矩阵，只说了句矩阵可以完成很多转换。而这次就主要来说明各种转换。

所有的转换我们都是通过矩阵和向量完成的。

缩放（Scale）

Scale(sx,sy,sz)=(sx000sy000sz)Scale−1(sx,sy,sz)=(sx−1000sy−1000sz−1) Scale(s_x,s_y,s_z) = \begin{pmatrix} s_x&0&0\\ 0&s_y&0\\ 0&0&s_z \end{pmatrix} \ Scale^{-1}(s_x,s_y,s_z) = \begin{pmatrix} s_x^{-1}&0&0\\ 0&s_y^{-1}&0\\ 0&0&s_z^{-1} \end{pmatrix}

上述中sx,sy,szs_x,s_y,s_z分别为各个坐标轴的缩放倍数。实际的转换过程如下：

(sx000sy000sz)(xyz)=(sxxsyyszz) \begin{pmatrix} s_x&0&0\\ 0&s_y&0\\ 0&0&s_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_xx\\ s_yy\\ s_zz \end{pmatrix}

错切（Shear）

错切可以将一个矩形转换成平行四边形。

Shear(sx,sy)=(sxa0sy)Shear−1(sx,sy)=(sx−a0sy) Shear(s_x,s_y) = \begin{pmatrix} s_x&a\\ 0&s_y \end{pmatrix} \ Shear^{-1}(s_x,s_y) = \begin{pmatrix} s_x&-a\\ 0&s_y \end{pmatrix}

上面式子主要完成的是对于y>0的点前移，y<0的点后移，而各点的y坐标不变。从而产生了错切的感觉。得到的结果：y′=y,x′=x+ayy'=y,x'=x+ay.

旋转（Rotation）

2维空间的旋转变换次序是没有影响的，但是对于三维空间却可能得到不一样的结果。

2D rotation

这里说的旋转是绕着原点旋转。 [x′y′]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][xy] \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}

有趣的是：RTR=IR^T R = I

3D rotation

3D的rotation相比于2D的要复杂很多。但是实际上我们可以这样去理解：二维的旋转，相当于绕着Z轴旋转，因为z坐标不会变。

因此可以得到绕各个坐标轴旋转的矩阵：

Rz=(cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001) R_z = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0\\ \sin \theta &\cos \theta & 0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}

同样的道理也就可以得到绕x轴与绕y轴的旋转：

Rx=(1000cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ)Ry=(cos⁡θ0−sin⁡θ010sin⁡θ0cos⁡θ) R_x = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos \theta & - \sin \theta \\ 0&\sin \theta &\cos \theta \\ \end{pmatrix} \ R_y = \begin{pmatrix} \cos \theta & 0&- \sin \theta \\ 0&1&0\\ \sin \theta &0 &\cos \theta \end{pmatrix}

同样的:RTR=IR^TR = I.

如果我们仔细观察可以发现，3D中R的各个行（列）向量满足一个三维坐标系的要求：单位向量且正交。因此如果我们将旋转矩阵写成下面的形式：

R=(xuyuzuxvyvzvxwywzw) R = \begin{pmatrix} x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v\\ x_w & y_w & z_w \end{pmatrix}

则

Rp=(xuyuzuxvyvzvxwywzw)(xpypzp)=(𝒖⋅𝒑𝒗⋅𝒑𝒛⋅𝒑) R_p = \begin{pmatrix} x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v\\ x_w & y_w & z_w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_p\\ y_p\\ z_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{u} \cdot \mathbf{p} \\ \mathbf{v} \cdot \mathbf{p} \\ \mathbf{z} \cdot \mathbf{p} \end{pmatrix}

上式最后一项正是𝒑\mathbf{p}在uvw坐标轴下的坐标值。因此旋转的本质实际上是将它映射到另一个坐标系当中了。

对于旋转矩阵如何求逆？因为旋转矩阵是正交矩阵，所有R−1=RTR^{-1} = R^T.

3D旋转是不可交换的。

但是上面的旋转矩阵相对来说比较简单，因为是绕着坐标轴旋转的。那么有没有办法绕着任意一个向量旋转θ\theta的公式？

罗德里格旋转(Rodrigues)公式

接下来这个公式就是用来解决上述问题的。假设向量（点）bb绕着单位向量𝒂\mathbf{a}旋转θ\theta.

𝒃=𝒃∥+𝒃⊥\mathbf{b}=\mathbf{b}_ {∥}+\mathbf{b}_ {⊥}，分布表示平行与垂直于𝒂\mathbf{a}的分量。很容易知道，𝒃∥\mathbf{b}_ {∥}在旋转过程中是不变的。

𝒃∥=𝒂⋅𝒃𝒂\mathbf{b}_ {∥} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \mathbf{a}

𝒃⊥=1−𝒃∥\mathbf{b}_ {⊥} = 1 -\mathbf{b}_ {∥}

然后我们要考虑到𝒃⊥\mathbf{b}_ {⊥}是如何旋转的。实际上它旋转的平面是垂直于𝒂\mathbf{a}与𝒃\mathbf{b}的，容易想到利用叉乘来构造：

𝒄=𝒂×𝒃\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}，而且由于叉乘的性质，𝒄\mathbf{c}的长度恰好等于𝒃⊥\mathbf{b}_ {⊥}.

现在旋转角度是θ\theta，则旋转后的向量在𝒃⊥\mathbf{b}_ {⊥}与𝒄\mathbf{c}方向上的投影分别是𝒃⊥cos⁡θ\mathbf{b}_ {⊥} \cos \theta与𝒄sin⁡θ\mathbf{c} \sin \theta.

旋转后的向量边上上述向量之和，并且希望写成旋转矩阵的形式（矩阵乘以向量）： b′=𝒃⊥cos⁡θ+𝒄sin⁡θ+𝒃∥=(𝒃−𝒂⋅𝒃𝒂)cos⁡θ+𝒂×𝒃sin⁡θ+𝒂⋅𝒃𝒂=𝒂𝒂T𝒃+(I−𝒂𝒂T)𝒃cos⁡θ+A*sin⁡θ𝒃 \begin{align} b' &= \mathbf{b}_ {⊥} \cos \theta +\mathbf{c} \sin \theta + \mathbf{b}_ {∥}\\ &= (\mathbf{b} -\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \mathbf{a} )\cos \theta +\mathbf{a} \times \mathbf{b} \sin \theta +\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \mathbf{a}\\ &= \mathbf{a}\mathbf{a}^T \mathbf{b} + (I -\mathbf{a}\mathbf{a}^T)\mathbf{b} \cos \theta + A^* \sin \theta \mathbf{b} \end{align}

所以R(𝒂,θ)=𝒂𝒂T+(I−𝒂𝒂T)cos⁡θ+A*sin⁡θR(\mathbf{a},\theta) =\mathbf{a}\mathbf{a}^T+ (I -\mathbf{a}\mathbf{a}^T)\cos \theta + A^* \sin \theta.

上式是计算机图形学中很重要的一个基础公式。

Note

如果要回到原来的样子，可以对所有的转换求逆。但是要注意的是：M=M1M2M3,M−1=M3−1M2−1M1−1M = M_1M_2M_3,M^{-1} = M_3^{-1}M_2^{-1}M_1^{-1}.

齐次坐标转换（Homogeneous Coordinates）

不知道有没有人有这么一个疑问：为什么没有平移？？平移应该是最简单的转换，但是实际起来的实现却没有那么容易。首先做个尝试：

(x′y′z′)=(?????????)(xyz)=(x+5yz) \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ?&?&?\\ ?&?&?\\ ?&?&? \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x+5\\ y\\ z \end{pmatrix} 中间的矩阵怎么做？有人会说将第一行第一列写为5z\frac 5 z即可，但是这就失去了转换矩阵的意义。转换矩阵中不应该包含我们要转换的坐标的信息。

计算机图形学中，解决这个问题的方法就说用齐次坐标，先看一下下面的转换：

$$ (x′y′z′w′)\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ w' \end{pmatrix} = (1005010000100001)(xyz1)\begin{pmatrix} 1&0&0&5\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix} = (x+5yz1)\begin{pmatrix} x+5\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix}

$$

通过加入一个其次坐标w而实现了平移。而加入这个量不会对上面提到的旋转等操作产生影响，而且他有很多的好处，因此被普遍用于图形相关的软件与硬件中。 #### 平移(Translate) #### $$ (x′y′z′w′)\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ w' \end{pmatrix} = (100Tx010Ty001Tz0001)(𝒑x𝒑y𝒑z1)\begin{pmatrix} 1&0&0&T_x\\ 0&1&0&T_y\\ 0&0&1&T_z\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{p}_x\\ \mathbf{p}_y\\ \mathbf{p}_z\\ 1 \end{pmatrix} = (𝒑x+Tx𝒑y+Ty𝒑z+Tz1)\begin{pmatrix} \mathbf{p}_x+T_x\\ \mathbf{p}_y+T_y\\ \mathbf{p}_z+T_z\\ 1 \end{pmatrix}

= +T $$ 主要旋转平移矩阵和平移旋转矩阵是不一样的，因为平移矩阵实际上需要的是最右侧的一个向量：

旋转平移矩阵： [R3×3T3×101×31] \begin{bmatrix} R_ {3 \times 3}&T_ {3 \times 1}\\ 0_ {1 \times 3}&1 \end{bmatrix}

平移旋转矩阵: [R3×3R3×3T3×101×31] \begin{bmatrix} R_ {3 \times 3}&R_ {3 \times 3}T_ {3 \times 1}\\ 0_ {1\times 3}&1 \end{bmatrix}

仔细推导就可以得到上面的结果。

法向转换（Normal Transformation）

法向的转换并不会按照平面各个点的转换进行。

假如原来的切线向量为𝒕\mathbf{t},原来的法向向量为𝒏\mathbf{n}，转换矩阵为MM，则切线向量是会依照原来的转换而改变的：𝒕′=M𝒕\mathbf{t}' = M\mathbf{t}.

假设转换完成后的法向向量为𝒏′=Q𝒏\mathbf{n}' = Q\mathbf{n}.

当然不管什么时候，法向与切向都应该是垂直的：𝒏′T𝒕′=0\mathbf{n}'^T\mathbf{t'} = 0

可以得到： 𝒏TQTM𝒕=0. \mathbf{n}^TQ^TM \mathbf{t} = 0.

因此我们希望QTM=IQ^TM = I,所以得到：Q=(M−1)TQ = (M^{-1})^T.

当然上面的解并不是唯一解，但是计算机图形学是工程学科，我们希望的是能够解决这个问题即可。

需要注意的是：MM为3×3矩阵。因为法向和切向是向量，所以平移不会影响法向和切向。