机器学习——Regularization

上篇博客说了overfitting的情况，有一些比较高级的处理overfitting的办法，其中有一个就是regularization，中文中叫做正则化。

从前面的nonlinear transform中也说明了，复杂的假说一般会包括了简单的假说。例如一个2次的假说，与10次的假说，他们的区别，就是10次的比二次的多了更多三次及以上的特征。也就是二次假说实际上是十次假说加上了一个限制：三次及以上的特征前面的权重（w）为0.这样就使得假说变得简单了不少.

如果放宽这个限制，假如较为简单的模型特征量有r个，在复杂模型中，最多有r个特征的权重不为0，在一定程度上，也可以很好的减少这个复杂度。只不过让人遗憾的是，在这样的假说中选出最佳的$\mathbf w$（权重向量）被证明了是一个NP-hard问题，没有一个很好的解决办法.

如果个数是整数，要挑出最好的，很容易有NP-hard问题，但是将这个拓宽到实数领域，我们往往可以通过数学工具得到最佳解。例如在这里，我们继续拓宽这个限制：让这些$w^2$和小于一个常数$C$，似乎也可以起到类似的效果。

为了简化问题，举个很简单的例子如：对于只有一个特征量的样本集，$H_2 = w_0+w_1x+w_2X^2$，而$H_ {10} = w_0+w_1x+w_2x^2+...+w_ {10}x^{10}$.

对于$H_2$来说，$H_ {10}$中限制为$w_3 = w_4 = w_5 = ...= w_ {10} = 0$.

对于上面说的第二种假设，$H_ {10}$限制为:$\sum _ {n = 0} ^{10} [[w_n \ne 0]] \leq 3$.

对于第三种假设，$H_ {10}$限制为:$\sum_ {n = 0}^{10} w_n^2 \leq C$ 即$W^TW \leq C$.

那么，我们已经知道了最后一个才有可能求得最佳解。如何去做？

高维度的figure我们无法想象，我也不知道怎么去称呼，但是如果是二维，这个限制是一个圆，如果是三维，这个限制是一个球。假设我们依然称这个限制为一个球，而没有限制的最低点不在这个球内。因此梯度下降的结果就是达到了球的边缘，但是依然想要走下坡路。无路可走的情况，是梯度与该法向量的方向平行了，而只要梯度与该法向量的方向不不平行，我们总是可以朝着某个方向走使得$E_ {in}$继续减少。因此这个过程终止的时候，就是该点的法向量与$E_ {in}$的梯度平行了，而值得注意的是边缘某点的法向量实际上就是$W$.如果我们称做这个结果$W$为$W_ {REG}$，那么有个结果：$W_ {REG} = \lambda ▽E_ {in}$.

其中这个$lambda$是一个常熟.我们知道，线性回归中梯度为$▽E_ {in} = \frac 2 N (X^TX - Y^TXW)$，为了简化，我们将$\lambda$写为$ N$,最后得到： $$▽E_ {in}+ \frac 2 N \lambda W_ {REG} = 0.$$ 如果$\lambda$提前知道，那么我们就可以求得$W_ {REG}$的值.

如果对上式左边求积分可以得到：

$$f(W) = E_ {in} + \frac \lambda N W_ {REG}$$

所以可以很神奇地发现，对于原来的问题的求解可以很有效地转变成了求$f(W)$的最小值，它就是正则化后的$E_ {in}$，因此新的$cost-function$变成了下面的样子：

$$min_ {W \in R^{Q+1} } \frac 1 N \sum _ {n = 0} ^N (\mathbf{w}^T \theta(X_n) - y_n)^2 + \frac {\lambda} N \sum {q=0} ^Q w_q^2$$

tips：对于多项式正则化，因为一般来说我们会将特征值的范围限定到$[-1,1]$(原因以后再探讨),这导致高次项的影响可能变得非常小，为了处理这种情况需要用到一个正交化处理，关键词“Legendre polynomial”。效果更好。需要了解更多的话可以去搜索.

$\lambda$由$C$确定（这是不严谨的说话。但是实际中给定$W$限定到一个范围，因此给出C的人也更容易给出一个$\lambda$），实际应用时，给$\lambda$一个很小的值就可与很好地处理过拟合的情形，如果过大，可能会出现欠拟合的情况.

接下来需要继续说明的是regularization，与vc理论之间的关系。实际上，即使加上了regularization，对于一个假说来说，在数学计算上它的vc dimention依然很大，依然会付出很大的代价。但是regularization的作用是什么？它将我们需要寻找的范围局限在了一定范围内，在这个范围内，可能都是比较好的$h$,因此有效的vc dimension减少了，也就更有可能得到比较好的$E_ {out}$。

如何选择regularizer？

1.首先，如果我们知道目标函数的一些特点，就可以指引我们选择一些好的regularizer，比如：如果知道目标函数是偶函数，可以只对奇次项的特征进行正则化。

2.选择平滑的，如$\sum _ {q=0} ^ Q |w_q|$.这个也叫L1 regularizer（L1正则化）.相对于L2来说它效果往往更好一点，因为更加平滑，但是不好解。

3.选择好优化的，如L2，也就是上文提到的。

除此之外，还有$\lambda$的选择。如图，不同的noise级别需要的$lambda$也不同：

如何选择一个合适的$\lambda$也非常重要，这就需要用到下一节所讲的Validation。